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Exercice
Session de rattrapage 2021


On considère la fonction `h` définie sur `]0,+infty[ ` par ` h(x)= x+lnx `

1) Montrer que `h` est strictement croissante sur `]0, +infty[`

2) Déterminer ` h ]0,+infty[`

3a) En déduire que l'équation `h(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha ` sur `]0,+infty[`

b) Montrer que ` 0 < alpha < 1 `

4a) Vérifier que ` h(1/(alpha)) = alpha +1/(alpha) `

b) En déduire que ` h(1/(alpha)) > 2 `
3 réponses

1) Montrer que `h` est strictement croissante sur `]0, +infty[`



la fonction `h` est dérivable sur `]0,+infty[` en tant que somme des fonctions dérivables


et on a pour tout ` x > 0 : h'(x)= (x+lnx)' = 1 +1/x `



comme ` 1+1/x > 0 ` pour tout ` x > 0 `

`=> forall x in ]0,+infty[ : h'(x) > 0 `

et par suite `h` est strictement croissante sur `]0,+infty[`


Avez vous une question

2) Déterminer ` h ]0,+infty[`



la fonction `h` est continue ( somme de deux fonctions continues) et strictement croissante sur `]0,+infty[`

`=> h ]0,+infty[ = ] lim_{ x to 0^+} h(x) , lim_{ x to +infty} h(x)[ = ]-infty , +infty[`




Avez vous une question


3 a) En déduire que l'équation `h(x)= 0 ` admet une solution unique `alpha ` sur `]0,+infty[`



On a les conditions suivantes :

1) `h` est continue sur `]0,+infty[`

2) `h ` est strictement croissante sur `]0,+infty[`

3) ` 0 in ]-infty , +infty[ = h ]0,+infty[ `

alors ` exists! alpha in ]0,+infty[ : h(alpha)=0 `


Avez vous une question
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